문제 3 · $d$-힙의 삽입·삭제 연산

문제 3 [2점]

$d$-힙d-heap의 삽입, 삭제 연산을 엄밀하게 서술(1점)하고, 그 이유를 설명(1점)하시오.

풀이 및 해설

$d$-힙이란

$d$-힙은 모든 내부 노드가 최대 $d$개의 자식을 갖는 완전 $d$-진 트리로 표현한 힙이다. 이진 힙($d=2$)의 일반화이며, 배열에 저장한다. 1-기반 배열에서 $i$번 노드의

• 부모: $\lceil {\displaystyle \frac{i-1}{d}}\rceil$
• 자식: $d(i-1)+2,d(i-1)+3,\dots ,di+1$

삽입(insert)

1. 새 원소를 배열의 마지막(가장 끝) 자리에 넣어 완전 트리 형태를 유지한다.
2. 이 원소를 부모와 비교하며, 부모보다 작으면(최소 힙 기준) 부모와 교환하는 상향 이동percolate up을 힙 순서가 만족될 때까지 반복한다.

트리 높이가 ${\log }_{d}N$ 이므로 상향 이동은 각 단계에서 부모 한 번만 비교한다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{insert}=\mathcal{O}({\log }_{d}N)}}$$

삭제(deleteMin)

1. 루트(최솟값)를 꺼내고, 배열의 마지막 원소를 루트 자리로 옮긴다.
2. 이 원소를 $d$개 자식 중 가장 작은 자식과 비교하여, 자기보다 작으면 그 자식과 교환하는 하향 이동percolate down을 반복한다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{deleteMin}=\mathcal{O}(d{\log }_{d}N)}}$$

이유

트리의 높이는 ${\log }_{d}N$ 이다. 삽입은 각 층에서 부모와 한 번만 비교하므로 높이에 비례해 $\mathcal{O}({\log }_{d}N)$ 이다. 반면 삭제는 하향 이동 때 각 층에서 "가장 작은 자식"을 찾기 위해 $d$개 자식을 모두 비교해야 하므로 층마다 $\mathcal{O}(d)$, 전체는 $\mathcal{O}(d{\log }_{d}N)$ 이 든다.

따라서 $d$를 키우면 트리가 낮아져 삽입은 빨라지지만, 삭제 때 자식 비교 횟수가 늘어 삭제는 느려진다. $d$는 이 둘 사이의 절충으로 선택한다(캐시 지역성 때문에 $d=4$ 정도가 유리하기도 하다).