문제 9 · 트리 기반 서로소 집합의 문제점과 개선

문제 9 [4점]

아래 배열array은 트리 기반 서로소 집합disjoint set을 구현한 결과이다. 이를 트리 형태로 그리고(2점), 이 서로소 집합이 가지는 문제점과 개선 방안을 서술(2점)하시오.

인덱스 0~7의 부모 배열(값 −1은 루트를 뜻함)

풀이 및 해설

배열 읽기

배열의 각 칸은 그 노드의 부모 인덱스이고, 값 $-1$ 은 루트를 뜻한다.

인덱스	0	1	2	3	4	5	6	7
부모	−1	0	1	2	3	4	5	6

7은 6을, 6은 5를, …, 1은 0을 부모로 가리키므로 하나의 긴 사슬(chain) 이다.

트리 형태

0  (루트)
│
1
│
2
│
3
│
4
│
5
│
6
│
7

문제점

union을 아무 순서로나(항상 한쪽을 다른 쪽 밑에 붙이는 식으로) 수행하면, 이렇게 한 줄로 늘어진 편향 트리가 만들어진다. 이때 트리의 높이가 $\mathcal{O}(N)$ 이 되어, 어떤 원소의 대표원을 찾는 find 연산이 루트까지 $\mathcal{O}(N)$ 만큼 거슬러 올라가야 한다. 사실상 연결 리스트와 다를 바 없어, 트리로 구현한 이점이 사라진다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{편향 트리}\Rightarrow \text{높이 }\mathcal{O}(N),\text{find}=\mathcal{O}(N)}}$$

개선 방안

1. 랭크(또는 크기)에 의한 합집합union by rank/size: union할 때 낮은(작은) 트리를 높은(큰) 트리 밑에 붙인다. 이렇게 하면 트리 높이가 $\mathcal{O}(\log N)$ 이하로 유지된다.
2. 경로 압축path compression: find 도중 거쳐 간 모든 노드를 곧바로 루트에 직접 연결한다. 이후의 find 가 훨씬 짧아진다.

두 기법을 함께 쓰면 $m$번 연산의 총 비용이 $\mathcal{O}(m\alpha (N))$ 으로, $\alpha$ 는 극도로 느리게 자라는 역-아커만 함수라 사실상 연산당 상수 시간에 가깝다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{랭크에 의한 합집합 + 경로 압축}\Rightarrow \text{연산당 사실상 }\mathcal{O}(\alpha (N))\approx \mathcal{O}(1)}}$$