문제 7 · 최소 신장 트리는 유일한가

문제 7 [2점]

임의의 그래프의 최소 신장 트리는 단일unique한가? 그렇다면 이유를 서술하고, 그렇지 않다면 반례를 드시오.

풀이 및 해설

결론: 항상 유일하지는 않다.

$$\boxed{{\displaystyle \text{모든 간선 가중치가 서로 다르면 MST는 유일하지만, 같은 가중치가 있으면 유일하지 않을 수 있다.}}}$$

반례

세 정점 $A,B,C$ 가 이루는 삼각형에서 세 간선의 가중치가 모두 1로 같다고 하자.

      A
    1/ \1
    B───C
      1

신장 트리는 세 간선 중 아무 두 개를 고르면 되고, 세 경우 모두 총 가중치가 $1+1=2$ 로 최소이다.

• $\{A-B,B-C\}$
• $\{A-B,A-C\}$
• $\{B-C,A-C\}$

서로 다른 세 개의 MST가 존재하므로 유일하지 않다.

유일성 조건

모든 간선의 가중치가 서로 다르면 MST는 반드시 유일하다. 절단 성질(cut property)에 따라 임의의 컷을 가로지르는 가장 가벼운 간선은 반드시 MST에 포함되는데, 가중치가 모두 다르면 "가장 가벼운 간선"이 매번 유일하게 정해지기 때문이다. 반대로 같은 가중치의 간선들이 하나의 사이클을 이루면, 위 반례처럼 어느 것을 넣어도 되어 여러 MST가 생긴다.