문제 12 · 허프만 코드

문제 12 [4점]

어떤 파일이 총 7개의 문자(a: 6개, b: 13개, c: 31개, d: 2개, e: 1개, f: 5개, g: 12개)를 가지고 있다고 할 때, 이를 압축하고자 한다. 압축 알고리즘 중 하나인 허프만 알고리즘Huffman's algorithm을 서술(2점)하고, 이를 이용하여 구현된 허프만 코드Huffman code를 그리시오(2점).

풀이 및 해설

허프만 알고리즘

자주 나오는 문자에 짧은 코드, 드문 문자에 긴 코드를 주는 접두어 코드prefix code를 만든다. 탐욕적으로 다음을 반복한다.

각 문자를 빈도를 가중치로 하는 리프 노드로 만들어 최소 우선순위 큐에 넣는다.
큐에서 가중치가 가장 작은 두 노드를 꺼내, 이 둘을 자식으로 하고 가중치를 두 값의 합으로 하는 새 내부 노드를 만든다.
새 노드를 큐에 넣는다. 노드가 하나 남을 때까지 반복한다. 남은 노드가 트리의 루트다.
루트에서 왼쪽 간선을 0, 오른쪽 간선을 1 로 두고, 각 리프까지의 경로가 그 문자의 코드가 된다.

병합 과정 (빈도: e1, d2, f5, a6, g12, b13, c31, 합 70)

단계	꺼낸 두 노드	합친 가중치
1	e(1), d(2)	3
2	(ed)3, f(5)	8
3	a(6), (edf)8	14
4	g(12), b(13)	25
5	(aedf)14, (gb)25	39
6	c(31), 39	70

허프만 트리와 코드 (왼쪽=0, 오른쪽=1)

text

              (70)
             0/   \1
           c      (39)
                 0/   \1
              (14)     (25)
             0/  \1   0/  \1
            a  (8)    g    b
              0/ \1
            (3)   f
           0/ \1
          e    d

문자	빈도	코드	길이
c	31	`0`	1
a	6	`100`	3
f	5	`1011`	4
e	1	`10100`	5
d	2	`10101`	5
g	12	`110`	3
b	13	`111`	3

압축 후 총 비트 수(가중 경로 길이)는 내부 노드 가중치의 합과 같다.

총 비트 = 31 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 12 \cdot 3 + 13 \cdot 3 = 159 bit

(같은 가중치를 꺼내는 순서에 따라 코드 모양은 달라질 수 있으나, 총 비트 수 159는 최적으로 항상 동일하다. 고정 길이 3비트라면 $70 \times 3 = 210$ 비트이므로 상당히 절약된다.)

👉 실습(C++)에서 확인하기

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