문제 14 · 바젤 급수로 π 근사

문제 14 [3점]

아래 원주율 $\pi$를 근사approximation하기 위한 공식(오일러 급수Euler's series)을 구현한 코드의 빈칸을 채우세요.

$$\pi =\sqrt{6(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{n^2})}$$

cout << "정수 n을 입력하세요: ";
int n;
cin >> n;
double sum = 0.0;

// 오일러 급수 표현, 빈칸을 채우세요.
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    /* 각 항을 합산합니다.
    빈칸 1
    */
}
/* 급수를 바탕으로 π 값을 계산합니다.
빈칸 2
*/

풀이 및 해설

이 급수는 바젤 문제Basel problem의 결과로, 제곱수 역수의 합이 다음과 같이 알려져 있습니다.

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$$

양변을 정리하면 ${\pi }^2=6\sum \frac{1}{k^2}$, 따라서 $\pi =\sqrt{6\sum \frac{1}{k^2}}$ 입니다. 그러므로

• 빈칸 1 — 각 항 ${\displaystyle \frac{1}{i^2}}$을 sum에 누적. 정수 나눗셈을 피하려고 분자를 1.0(실수)으로 둡니다.

sum += 1.0 / (static_cast<double>(i) * i);   // = 1 / i^2

• 빈칸 2 — 누적된 합에 6을 곱하고 제곱근을 취해 π를 계산·출력. sqrt를 쓰려면 <cmath>가 필요합니다.

double pi = sqrt(6.0 * sum);
cout << "근사한 pi = " << pi << endl;

$$\boxed{{\displaystyle \mathtt{\text{sum += 1.0 / (double)(i) / i;}}\mathtt{\text{pi = sqrt(6.0 * sum);}}}}$$

n이 커질수록 $\sqrt{6\sum }$가 실제 $\pi =3.14159\dots$에 가까워집니다. (예: n = 100000이면 약 3.14158)

👉 실습(C++)에서 확인하기